Vectores y valores propios | Diccionario Economico

Definición de Vectores y valores propios | Diccionario Economico

Vectores y valores propios son conceptos utilizados en el análisis matemático y algebraico para entender las propiedades de una matriz o un operador lineal. Los vectores propios son vectores que no cambian de dirección después de ser multiplicados por la matriz u operador lineal, mientras que los valores propios son los escalaras que representan los factores de cambio en los vectores propios. En resumen, los vectores y valores propios son herramientas para entender cómo una matriz o un operador lineal afectan a los vectores en un espacio vectorial.

En otras palabras, los vectores propios traducen la información de la matriz original en un producto de valores y una constante. Los valores propios es una constante que multiplica los vectores propios y participa en la transformación lineal de la matriz original.

Aunque su nombre en español es muy descriptivo, en inglés los vectores propios se denominan vectores propios y los valores propios se denominan valores propios.

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vectores propios

Los vectores propios son conjuntos de elementos que, cuando se multiplican por cualquier constante, equivalen a multiplicar la matriz original y los conjuntos de elementos.

Matemáticamente, el vector propio V=(v1,…,vn) de una matriz cuadrada Pregunta es cualquier vector V que satisface la siguiente expresión para cualquier constante h:

QB = xB

valores propios

La constante h es un valor propio que pertenece al vector propio V.

Los valores propios son raíces reales (raíces cuyas soluciones tienen números reales) que encontramos usando la ecuación característica.

Características de los valores propios

• Cada valor propio tiene infinitos vectores propios, ya que hay infinitos números reales que pueden formar parte de cada vector propio.
• Estos son escalares, pueden ser números complejos (no reales) y pueden ser idénticos (más de un valor propio igual).
• Hay tantos valores propios como filas (m) o columnas (n) de la matriz original.

Vectores y valores propios

Existe una relación lineal entre vectores y valores propios, ya que los valores propios multiplican los vectores propios.

Matemáticamente

Si V es un vector propio de la matriz GRAMO yh – valor propio de la matriz GRAMOentonces hV es una combinación lineal de vectores y valores propios.

función característica

La función característica se utiliza para encontrar los valores propios de la matriz. GRAMO cuadrado.

Matemáticamente

(Z – canal) V = 0

Dónde GRAMOyh se definen arriba, e I es la matriz identidad.

Condiciones

Para encontrar los vectores y valores propios de una matriz, haga lo siguiente:

• Matriz GRAMO cuadrado: el número de filas (m) es el mismo que el número de columnas (n).
• Matriz GRAMO real. La mayoría de las matrices utilizadas en finanzas tienen raíces reales. ¿Cuál es el beneficio de usar raíces reales? Bueno, los valores propios de una matriz nunca serán números complejos, y esto, amigos, decide mucho en nuestras vidas.
• matriz (GRAMO– hI) es irreversible: determinante = 0. Esta condición nos ayuda a encontrar siempre vectores propios distintos de cero. Si tuviéramos que encontrar vectores propios iguales a 0, entonces la multiplicación entre valores propios y vectores propios sería cero.

Ejemplo práctico

Supongamos que queremos encontrar vectores propios y valores propios GRAMO matriz 2×2:

1. Sustituir la matriz GRAMO y yo en la ecuación característica:

2. Arreglamos los factores:

3. Multiplicamos los elementos como buscando el determinante de la matriz.

4. La solución a esta ecuación cuadrática es h=2 y h=5. Dos valores propios debido al número de filas o columnas en la matriz GRAMO es igual a 2. Entonces, hemos encontrado los valores propios de la matriz GRAMO que a su vez hace que el determinante sea igual a 0.

5. Para encontrar los vectores propios, necesitamos resolver:

6. Por ejemplo, (v1,v2)=(1,1) para h=2 y (v1,v2)=(-1,2) para h=5:

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