Modelo Black-Scholes

Definición de Modelo Black-Scholes

El Modelo Black-Scholes es un modelo matemático utilizado para valorar opciones financieras, que se basa en la premisa de que los mercados financieros son eficientes y que los precios de los activos siguen un proceso estocástico. Se utiliza para determinar el valor justo de una opción considerando varios factores como el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio, la volatilidad, la tasa libre de riesgo y el tiempo hasta la expiración de la opción. El modelo ofrece una fórmula para calcular el precio de la opción y se considera uno de los fundamentos en la teoría financiera moderna.

El modelo Black-Scholes lleva el nombre de los dos matemáticos que lo desarrollaron, Fisher Black y Myron Scholes. Inicialmente, el método Black-Scholes se utilizó para valorar opciones sin dividendos. O, lo que es lo mismo, intentar calcular cuál debería ser el precio “justo” de una opción financiera. Posteriormente, el cálculo se amplió a todo tipo de opciones.

Este modelo ganó el Premio Nobel de Economía en 1997. Así, se ha convertido en uno de los pilares fundamentales de la teoría financiera moderna. Muchos analistas utilizan este método para estimar el precio aceptable de una opción financiera.

Supuestos del modelo Black-Scholes

Antes de profundizar en la fórmula y posterior cálculo, es necesario sacar algunas conclusiones sobre el modelo. Algunas suposiciones iniciales que se tienen en cuenta en el modelo y que enumeramos a continuación:

• No hay costes de transacción ni impuestos.
• La tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos.
• Las acciones no pagan dividendos.
• La volatilidad se mantiene constante.
• Se permite la venta en corto.
• No hay oportunidades de arbitraje sin riesgo.
• Se supone que la distribución de probabilidad de retorno es una distribución normal.

Fórmula de Black-Scholes

La fórmula de valoración de opciones de Black-Scholes se expresa de la siguiente manera:

Dónde:

• C = El precio de compra de la opción hoy (T=0) en euros.
• T = vencimiento en años (3 meses = 0,25 años).
• p = tipo de interés libre de riesgo. El rendimiento de la deuda pública es tanto por uno.
• sigma = volatilidad en tanto por uno.
• X = El precio de ejercicio de la opción de compra en euros.
• C = Cotización de la acción a T=0 en euros.
• N(d1 y d2) = El valor de la función de probabilidad acumulada distribución normal con una media de cero y una desviación estándar de uno.

Ejemplo de cálculo de Black-Scholes

Pongamos que queremos calcular el valor de una opción call a la que le quedan 3 meses para su vencimiento con un precio de ejercicio de 40 euros. El precio de la acción es de 50 euros. La volatilidad anual es del 30% (0,3). Y la tasa de interés libre de riesgo a 3 meses es del 10%. Las acciones no pagan dividendos durante los próximos tres meses.

Es por eso:

• C = El precio de compra de la opción hoy (T=0) en euros.
• T = 0.25.
• p = 0.1.
• sigma = 0.3.
• X = 40 euros
• C = 50 euros

Calculamos d1 y d2:

• d1 = 1.72.
• d2 = 1,57.
• N(d1) = 0.9573.
• N(d2) = 0.9418.

Por cierto, para obtener los valores límite de d1 y d2, es necesario Usa tablas de probabilidad.

Habiendo recibido todos los datos, sustituimos en la fórmula original:

Así, según Black-Scholes, el precio adecuado para nuestra opción de compra es de 11.123 euros.

Limitaciones del modelo Black-Scholes

Aunque el modelo de Black-Scholes ofrece una solución brillante al problema de calcular el precio de una opción adecuada, tiene algunas limitaciones.

Esto es un modelo, es decir, una adaptación de la realidad. Por tanto, como adaptación a la realidad, no la representa idealmente. Black Scholes calcula el precio de las opciones que solo se pueden ejercer o liquidar al vencimiento. Sin embargo, las opciones estadounidenses pueden ejercerse antes de su vencimiento. Además, también supone que las acciones no pagan dividendos. Y que tanto la tasa libre de riesgo como la volatilidad son constantes. Lo cual tampoco es el caso en la realidad, ya que muchas acciones pagan dividendos. Finalmente, la volatilidad y las tasas libres de riesgo cambian con el tiempo, por lo que esta suposición también es incorrecta.

Modelo matemático

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