Geometría fractal | Diccionario Economico

Definición de Geometría fractal | Diccionario Economico

La geometría fractal es una rama de las matemáticas que estudia las formas irregulares y fragmentadas que se repiten a diferentes escalas, a través de patrones fractales.

En otras palabras, los fractales están formados por partes que son similares al todo y son estructuras irregulares. Pensemos en el florete de brócoli, que, cuando lo partimos, se divide en varios brócoli más pequeños.

La geometría fractal nació de la necesidad de tener una mejor aproximación a la realidad, ya que la planimetría y la geometría espacial estudian formas y cuerpos muy difíciles de encontrar en la naturaleza.

Pensemos que las montañas no son conos y que incluso las pirámides egipcias, si las miramos de cerca, tendrán ciertas irregularidades en su superficie. Estas imperfecciones se denominan calidad de rugosidad, y es una característica que agrega geometría fractal a objetos que ya no tendrán solo perímetro, área y volumen.

Ejemplo de fractal: copo de nieve de Koch

Origen de la geometría fractal

El origen de la geometría fractal fue descubierto por el matemático Benoit Mandelbrot, así como su mayor obra literaria: La geometría fractal de la naturaleza, publicada en 1982.

La palabra «fractal» proviene del latín «fractus», que significa «roto» o «roto», y fue acuñada por Mandelbrot en 1975.

Vale la pena señalar que aunque Mandelbrot formalizó el estudio de la economía fractal, no fue el primero en notar la existencia de los fractales en la naturaleza. Por ejemplo, si observamos el trabajo del famoso artista japonés Katsushika Hokusai, vemos la aplicación de este concepto (y el mismo Mandelbrot lo mencionó en una entrevista). Por ejemplo, en la imagen «Big Wave» vemos como dentro de la ola hay otras olas más pequeñas.

Características fractales

Las principales características de un fractal son las siguientes:

• Auto-similitud: Esto está relacionado con lo que mencionamos anteriormente. Si miramos una parte del fractal a mayor escala (más cerca), entonces se verá igual que el objeto completo. Es decir, la parte es similar al todo, aunque esto no siempre es exactamente así. Por ejemplo, imagina un rombo formado por muchos rombos pequeños. Aunque el tamaño de estos diamantes varía ligeramente, será un fractal.
• La dimensión fractal no es igual a la dimensión topológica: Para explicar la dimensión topológica, imaginemos que tenemos un plano dividido en cuadrículas, como una cuadrícula. Entonces, dibujo una línea a través de 2 cuadrículas. Si tuviera que dividir todas las cuadrículas de la cuadrícula en dos, la línea pasaría por 4 cuadrículas. Es decir, multiplicado por 2, que es igual al factor de reducción (2) elevado a la potencia de 1 (2=21), que, a pesar de la redundancia, es el número de medidas de línea. Ahora bien, si tenemos un polígono, una figura de dos dimensiones, sucede algo similar. Por ejemplo, si tenemos un cuadrado que abarca cuatro cuadrículas y aplicamos un factor de reducción de 2 nuevamente, el cuadrado abarcará 16 cuadrículas. Es decir, el número de cuadrículas (4) se multiplica por 4, es decir, 2 aumenta a 2 (2=22), con el exponente igual al número de dimensiones al cuadrado. Sin embargo, todo lo anterior no es cierto para los fractales.
• No son diferenciables en ningún punto: Desde un punto de vista matemático, esto significa que no se puede calcular la derivada de la función representada. Visualmente, esto significa que el gráfico no es continuo, sino que tiene vértices, por lo que es imposible mostrarlo.

Aplicación de la geometría fractal

La geometría fractal se puede aplicar en varios campos. Por ejemplo, en 1940, Lewis Fry Richardson notó que los distintos límites entre países cambian según la escala de medida. Es decir, si estamos midiendo un contorno geográfico, el resultado será diferente según la longitud de la regla utilizada. Esto sirvió como punto de referencia para Mandelbrot en su artículo de Science de 1967: «¿Cuál es la longitud de la costa de Gran Bretaña?»

Esto se puede explicar si tenemos en cuenta que los territorios geográficos son fractales ya medida que los vemos a mayor escala vemos más irregularidades.

Otra aplicación de la geometría fractal es el análisis de movimientos sísmicos y bursátiles.

Además, hay que reconocer que los fractales han inspirado a artistas como el mencionado Hokusa, y también tenemos el caso de Jackson Pollock.

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