Definición de Ecuaciones funcionales | Diccionario Economico
Las ecuaciones funcionales son ecuaciones que relacionan una función con su(s) variable(s) independiente(s), donde la función desconocida se expresa en términos de sí misma. Son ampliamente utilizadas en matemáticas, física, economía y otras disciplinas para modelar y resolver problemas complejos.
Las ecuaciones funcionales también se pueden definir como aquellas que no se pueden reducir fácilmente a una función algebraica como f(x)=0 para resolverlas.
Las ecuaciones funcionales se caracterizan por el hecho de que no existe una única forma de resolverlas. Además, la variable en cuestión puede tomar diferentes valores (esto lo veremos en los ejemplos).
Ejemplos de ecuaciones funcionales
Algunos ejemplos de ecuaciones funcionales:
e (xy) = e (x). mi (y)
f(x2+y2)=f(xy)2/2
e(x) = e(x + 3) / x
En casos similares al anterior, se puede agregar, por ejemplo, que x pertenece al conjunto de los números reales, es decir, x ∈ R (se puede excluir el cero).
Ejemplos de ecuaciones funcionales
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones funcionales resueltas:
f(1/2x)=x-3f(x)
Entonces, si reemplazo x con 1/2x:
f(1/2(1/2x))=(1/2x)-3f(1/2x)
f(x)=(1/2x)-3f(1/2x)
f(x)=(1/2x)-3(x-3f(x))
f(x)=(1/2x)-3x+9f(x)
8f(x)=3x-(1/2x)
f(x)=(3/8)x-(1/16x)
Ahora veamos otro ejemplo con un poco más de complejidad, pero procederemos de manera similar:
x2f(x)-f(5-x)=3x…(1)
En este caso, primero extraemos f(5-x)
f(5-x)=x2f(x)-3x…(2)
Ahora reemplace x con 5-x en la Ecuación 1:
(5-x)2f(5-x)-f(5-(5-x))=3(5-x)
(25-10x+x2).f(5-x)-f(x)=15-3x
Recordamos que f(5-x) está en la Ecuación 2:
(25-10x+x2).(x2f(x)-3x)-f(x)=15-3x
25×2-75x-10x3f(x)+30×2+x4f(x)-3×3-f(x)=15-3x
f(x)(x4-10×3-1)=3×3-55×2+72x
f(x)=(3×3-55×2+72x)/(x4-10×3-1)
Ecuación funcional de Cauchy
La función funcional de Cauchy es una de las más básicas de su tipo. Esta ecuación tiene la siguiente forma:
e(x + y) = e(x) + e(y)
Suponiendo que x e y pertenecen al conjunto de los números racionales, la solución de esta ecuación nos dice que f(x)=cx, c es una constante cualquiera, y lo mismo ocurre con f(y).
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