Definición de Álgebra de conjuntos | Diccionario Economico
El álgebra de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y operaciones entre conjuntos, como la unión, intersección y diferencia, entre otras.
El álgebra de conjuntos es parte de lo que conocemos como teoría de conjuntos.
Cabe recordar que un conjunto es una agrupación de elementos de diferente tipo, como letras, números, símbolos, funciones, formas geométricas, entre otros.
Establecer operaciones
Las operaciones básicas sobre conjuntos son las siguientes:
- Unión: La unión de dos o más conjuntos contiene todos los elementos que pertenecen al menos a uno de esos conjuntos. Designado con la letra W.
A={9,34,57,6,9}
B={10,41,57,9,16}
AUB={9,34,57,6,9,10,41,16}
- Cruce: La intersección de dos o más conjuntos incluye elementos que son comunes a estos conjuntos. Denotado por una U invertida (∩). Ejemplo:
A \u003d {a, g, t, i, c, o}
B={i,p,d,i,v,o}
A∩B={i,s,o}
- Diferencia: La diferencia de un conjunto con respecto a otro es igual a la suma de los elementos del primer conjunto menos los elementos del segundo. Indicado por el símbolo \ o -. Por otro lado, x ∈ a A\B si x ∈ A pero x ∉ B. Ejemplo:
A={21,34,56,17,7}
B={78,21,17,36,80}
AB={34,56,7}
- Suma: el complemento del conjunto incluye todos los elementos que no están contenidos en el conjunto especificado (pero pertenecen a otro conjunto de referencia universal). Denotado por el superíndice C. Ejemplo:
A={3,9,12,15,18}
U (Universo) = todos los múltiplos de 3 que son números naturales enteros menores que 30.
AC={6,21,24,27}
- Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos incluye todos los elementos que están en uno u otro, pero no en ambos al mismo tiempo. Es decir, es la unión de conjuntos menos su intersección. Su símbolo es Δ. Ejemplo:
A={17,81,99,131,65,32}
B={11,54,71,65,99,27}
A∆B={17.81.131.32.11.54.71.27}
- Producto cartesiano: Esta es una operación que crea un nuevo conjunto que contiene como elementos pares ordenados o tuplas (series ordenadas) de elementos pertenecientes a dos o más conjuntos. Son pares ordenados si hay dos conjuntos, y tuplas si tenemos más de dos conjuntos. Ejemplo:
A={8,15,6,51}
B={x, y}
AxB={(8,x),(8,y),(15,x),(15,y),(6,x),(6,y),(51,x),(51,y) }
BxA={(x,8),(x,15),(x,6),(x,51),(y,8),(y,15),(y,6),(y,51) }
Leyes del álgebra de conjuntos
Las leyes del álgebra de conjuntos son las siguientes:
- idempotencia: La unión o intersección de un conjunto consigo mismo produce el mismo conjunto:
XUX=X
X∩X=X
- conmutativo: El orden de los factores no cambia el resultado al encontrar la unión o intersección de conjuntos:
HUU=HUU
Х∩Y=Х∩Y
- Distribución: La unión de un conjunto X con la intersección de otros dos conjuntos Y y Z es igual a la intersección de la unión de X e Y con la unión de X y Z. Es decir:
XU(Y∩Z)=(XUY)∩(XUZ)
Además, lo mismo es cierto si cambiamos el orden de las operaciones:
X∩(SO)=(X∩Y)U(X∩Z)
- De asociación: Los miembros de una operación de unión o intersección de múltiples conjuntos se pueden agrupar de forma difusa, obteniendo siempre el mismo resultado:
XU(XUY)=(XUY)UZ
Х∩(Х∩Y)=(Х∩Y)∩Z
- Ley de Morgan: El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos, y el complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos.
(XYU)С=ХС∩YС
(Х∩Y)С=XCUYC
- Ley de la diferencia: La diferencia de un conjunto con respecto a otro es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo:
(XY)=X∩YC
- Leyes adicionales:
- La unión de un conjunto con su complemento es igual al conjunto universal. XUXC=U
- La intersección de un conjunto con su complemento es cero o el conjunto vacío. Х∩ХС=∅
- El complemento del complemento de un conjunto X es igual al conjunto X. (XC)C=X
- El complemento del conjunto universal es igual a cero o al conjunto vacío. XC=∅
- El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universal. ∅С=U
- Leyes de absorción:
- SU(X∩Y)=X
- X∩(XYY)=X
- XY(XC∩Y)=XYY
- Х∩(ХCUY)=Х∩Y
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