Transformación lineal de matrices | Diccionario Economico

Definición de Transformación lineal de matrices | Diccionario Economico

La transformación lineal de matrices es una operación que toma una matriz como entrada y produce otra matriz como resultado, aplicando una función lineal a cada elemento de la matriz original. Esta transformación puede incluir operaciones como multiplicación por escalares, sumas y restas de matrices, y multiplicación de matrices.

En otras palabras, podemos cambiar la dimensión de un vector multiplicándolo por cualquier matriz.

Las transformaciones lineales son la base para los vectores y los valores propios de la matriz porque son linealmente dependientes entre sí.

Artículos destacados: Operaciones con matrices, vectores y valores propios.

Matemáticamente

Definimos una matriz CON. de cualquier dimensión 3×2 multiplicado por un vector V de dimensión n=2 tal que V=(v1,v2).

¿Qué dimensión tendrá el vector resultante?

Resultado vectorial del producto matriz CON.3×2 con vector V2×1 será un nuevo vector V’ de dimensión 3.

Este cambio en la dimensión del vector se debe a una transformación lineal a través de la matriz CON..

Ejemplo práctico

Dada una matriz cuadrada r dimensión 2×2 y vector V dimensión 2.

Transformación lineal de la dimensión del vector V:

donde la dimensión inicial del vector V era 2×1, y ahora la dimensión final del vector V es 3×1. Este cambio de tamaño se logra mediante la multiplicación de matrices. r.

¿Se pueden representar gráficamente estas transformaciones lineales? ¡Si seguro!

Representaremos el vector resultante V’ en el plano.

Entonces:

V = (2.1)

V’ = (6.4)

Gráficamente

Vectores propios por representación gráfica

¿Cómo podemos determinar que un vector es un vector propio de una matriz dada simplemente mirando el gráfico?

Definamos una matriz D. dimensiones 2×2:

¿Son los vectores v1=(1,0) y v2=(2,4) vectores propios de la matriz D.?

Procedimiento

1. Comencemos con el primer vector v1. Haciendo la transformación lineal anterior:

Entonces, si el vector v1 es de hecho un vector propio de la matriz D.el vector resultante v1′ y el vector v1 deben estar en la misma línea recta.

Imagina v1 = (1,0) y v1′ = (3,0).

Como tanto v1 como v1′ pertenecen a la misma línea, v1 es un vector propio de la matriz D..

Matemáticamente, existe una constante h (valor propio) tal que:

2. Continúe con el segundo vector v2. Repetimos la transformación lineal anterior:

Entonces, si el vector v2 es de hecho un vector propio de la matriz D.el vector resultante v2′ y el vector v2 deben estar en la misma línea recta (como en el gráfico anterior).

Representemos v2 = (2.4) y v2′ = (2.24).

Como v2 y v2′ no pertenecen a la misma línea, v2 no es un vector propio de la matriz D..

Matemáticamente, no existe una constante h (valor propio) tal que:

¿Problemas o dudas? Te ayudamos

Si quieres estar al día, suscríbete a nuestra newsletter y síguenos en Instagram. Si quieres recibir soporte para cualquier duda o problema, no dude en ponerse en contacto con nosotros en info@wikieconomia.org