Definición de Teorema de Darmois – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico
El Teorema de Darmois establece que si una muestra se distribuye de acuerdo con una distribución exponencial-multinomial, entonces las estimaciones puntuales basadas en el método de máxima verosimilitud son las únicas estimaciones invariantes.
En pocas palabras, le permite encontrar una expresión matemática, si existe, de suficientes estadísticas.
Con respecto al criterio de factorización de Fisher-Neumann, podemos hacer una observación. El criterio de factorización de Fisher-Neumann se usa tanto para probar si una estadística satisface la propiedad de suficiencia como para encontrar la expresión matemática para una estadística suficiente (si existe). Por el contrario, el teorema de Darmois solo nos permite encontrar la expresión matemática (si existe) de estadísticas suficientes.
Suponga que mientras el criterio de factorización de Fischer-Neumann avanza (búsqueda) y retrocede (prueba), el teorema de Darmois solo avanza (búsqueda).
Fórmula del teorema de Darmois
Teóricamente, esto se expresa sobre una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X con una función de densidad f(x; θ) para θ ∈ Ω. Si esta función pertenece a la familia exponencial, es decir, se puede expresar de tal forma que:
f(x;θ) = β(θ)×b(x)×e^[a(x) × α(θ)
Entonces el estadístico T = T(x1, … , xn) = Σ a(x)
Para facilitar los cálculos se suele realizar notación con logaritmos:
lnf(x;θ) = lnβ(θ) + lnb(x) + [a(x) × α(θ)]
Por supuesto, todas estas notaciones matemáticas son difíciles de entender. Aparecen muchas incógnitas, muchas letras, muchos operadores. Vamos a redefinirlo en términos coloquiales. Para ello, comencemos con una definición teórica aplicada al ejemplo:
Supongamos que hay una muestra aleatoria de 50 niños (muestra aleatoria simple) a quienes preguntamos cuánto dinero gastan a la semana en dulces (X aleatoria) con una función de densidad dada (ver función de densidad). Entonces si esta función de densidad se puede expresar de la siguiente manera:
Establezcamos que el estadístico suficiente es la suma de la expresión a(x)
Las partes de la fórmula se definen de la siguiente manera:
- lnβ(θ): esta es una función que depende solo del parámetro (en nuestro caso, de la media)
- lnb(x): esta es una función que solo depende de la variable aleatoria X
- a(x): es una función que depende solo de X y multiplica α(θ)
- α(θ): esta es una función que depende solo del parámetro (en nuestro caso, de la media)
Teorema de Darmois en la práctica
Si bien todos tenemos la capacidad y las herramientas para descubrir nuevas estadísticas, esta no suele ser la norma. En otras palabras, los profesores de economía y los expertos en la materia realizan investigaciones sobre estos temas.
A título personal, es difícil encontrar a alguien que se dedique a realizar este tipo de investigación. Entonces, en la práctica, es importante entender de dónde vienen las estadísticas que usamos.
Por ejemplo, para que alguien descubra que la media es una estadística suficiente, probablemente haya utilizado este proceso.
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