Definición de Teorema de Bayes – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico
El Teorema de Bayes es una fórmula matemática que permite calcular la probabilidad de un evento dado, a partir de la probabilidad de otro evento relacionado.
Podemos calcular la probabilidad de un evento A, sabiendo también que este A cumple una cierta característica que determina su probabilidad. El teorema de Bayes comprende la probabilidad de vuelta al teorema de probabilidad total. El Teorema de la Probabilidad Total infiere el evento B a partir de los resultados de los eventos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A dado B.
El teorema de Bayes ha sido ampliamente cuestionado. Lo cual se debió principalmente a su mala aplicación. Porque mientras se mantengan las suposiciones sobre eventos disjuntos y exhaustivos, el teorema es completamente cierto.
Fórmula del teorema de Bayes
Para calcular la probabilidad bayesiana de este tipo de evento, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Donde B es el evento del que tenemos información previa y A(n) son los distintos eventos condicionales. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicional, y en la parte de abajo tenemos la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrar esto, usaremos un ejemplo donde en lugar de A(1), A(2) y A(3) usaremos directamente A, B y C.
Ejemplo del teorema de Bayes
La empresa tiene una planta en los EE. UU. que cuenta con tres máquinas A, B y C que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce el 40% de la producción total, la máquina B el 30% y la máquina C el 30%. También se sabe que cada máquina produce un embalaje defectuoso. Así, la máquina A produce el 2% de los envases defectuosos de la producción total, la máquina B el 3% y la máquina C el 5%. Al hacerlo, hay dos preguntas:
PA(A) = 0.40 P(D/A) = 0.02
P(B) = 0.30 P(D/V) = 0.03
P(C) = 0.30 P(D/E) = 0.05
- Si el contenedor se fabricó en la planta estadounidense de esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
Se calcula la probabilidad global. Ya que para diferentes eventos calculamos la probabilidad de que sea defectuoso.
P(D) =[ P(A) x P(D/A) ] + [ P(B) x P(D/B) ] + [ P(C) x P(D/C) ] «=» [ 0,4 x 0,02 ] + [ 0,3 x 0,03 ] + [ 0,3 x 0,05 ] = 0,032
En términos porcentuales, diríamos que existe un 3,2% de probabilidad de que un contenedor fabricado en la planta estadounidense de esta empresa sea defectuoso.
2. Continuando con la pregunta anterior, si se compra el envase y está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A? ¿Qué pasa con el coche B? ¿Qué pasa con el coche C?
Aquí se utiliza el teorema de Bayes. Tenemos información preliminar, es decir, sabemos que el empaque es defectuoso. Por supuesto, sabiendo que está defectuoso, queremos saber cuál es la probabilidad de que se haya producido en una de las máquinas.
P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,40 x 0,02] / 0,032 = 0,25
P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,03] / 0,032 = 0,28
P(S/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,30 x 0,05] / 0,032 = 0,47
Si se sabe que el contenedor está defectuoso, existe un 25 % de probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A, un 28 % de probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina B y un 47 % de probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina C.
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