Definición de Teorema central del límite – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico
El teorema central del límite es un principio estadístico que establece que la suma de un gran número de variables aleatorias independientes y no correlacionadas tiende a seguir una distribución normal, sin importar la forma de distribución de las variables originales. Esto significa que, en la práctica, la distribución normal es muy común en muestras grandes, lo que permite realizar inferencias y estimaciones más precisas sobre la población de interés.
Además, TCL establece que a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la media de la muestra se acercará a la media de la población. Por lo tanto, utilizando LCT, podemos determinar la distribución de la media muestral de una determinada población con una varianza conocida. Entonces, la distribución seguirá una distribución normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande.
Propiedades básicas del teorema del límite central
El Teorema del Límite Central tiene una serie de propiedades muy útiles en el campo de la estadística y la probabilidad. Los principales son:
- Si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal. TCL considera que una muestra es grande si su tamaño es mayor que 30. Por lo tanto, si la muestra es mayor que 30, la función de distribución de la media de la muestra será casi normal. Y esto es cierto independientemente de la forma de distribución con la que estemos trabajando.
- La media poblacional y la media muestral serán iguales. Es decir, el valor medio de la distribución de todas las medias muestrales será igual al valor medio de toda la población.
- La varianza de la distribución de las medias muestrales será σ²/n. ¿Cuál es la varianza de la población dividida por el tamaño de la muestra?
Es muy útil tener una distribución de medias muestrales que se asemeje a una normal. Porque la distribución normal es muy fácil de aplicar para probar hipótesis y construir intervalos de confianza. En estadística es muy importante que la distribución sea normal, ya que muchas estadísticas requieren este tipo de distribución. Además, TCL nos permitirá inferir la media poblacional a través de la media muestral. Y esto es muy conveniente cuando, por falta de fondos, no podemos recoger datos de toda la población.
Un ejemplo del teorema del límite central
Imaginemos que queremos analizar la rentabilidad media histórica del índice S&P 500, que sabemos que incluye unas 500 empresas. Pero no tenemos suficientes datos para analizar las 500 empresas del índice. En este caso, la rentabilidad media del S&P 500 sería la rentabilidad media de la población.
Ahora, siguiendo a TCL, podemos tomar una muestra de estas 500 empresas para su análisis. La única restricción que tenemos es que la muestra debe tener más de 30 empresas para cumplir el teorema. Así que imaginemos que seleccionamos al azar 50 empresas del índice y repetimos el proceso varias veces. Los pasos a seguir en el ejemplo serían:
- Seleccionamos una muestra de aproximadamente 50 empresas y obtenemos la rentabilidad media de toda la muestra.
- De manera continua, seguimos seleccionando 50 empresas y recibimos un rendimiento promedio.
- La distribución de todos los rendimientos promedio de todas las muestras seleccionadas se aproximará a la distribución normal.
- La rentabilidad media de todas las muestras seleccionadas será aproximadamente igual a la rentabilidad media del índice general. Como muestra el teorema del límite central.
Por lo tanto, al derivar el rendimiento promedio de la muestra, podemos aproximarnos al rendimiento promedio del índice.
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