Definición de Punto de inflexión | Diccionario Economico
Un punto de inflexión es un momento de cambio o transición en el que se pasa de una tendencia o estado a otro en eventos económicos o en el mercado.
En otras palabras, el punto de inflexión es el punto en el que la función cambia su tendencia.
Cabe señalar que una función puede tener más de un punto de inflexión o ninguno. Por ejemplo, una línea no tiene un punto de inflexión.
Además, matemáticamente hablando, el punto de inflexión se calcula poniendo a cero la segunda derivada de la función. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esta ecuación y la llamaremos Xi.
Luego sustituimos Xi en la tercera derivada de la función. Si el resultado es distinto de cero, llegamos a un punto de inflexión.
Sin embargo, si el resultado es cero, debemos hacer un cambio en derivadas sucesivas hasta que el valor de esa derivada, ya sea tercera, cuarta o quinta, sea diferente de 0. Si la derivada es impar, este es un punto de inflexión, y si no.
ejemplo de punto de inflexión
A continuación, veamos un ejemplo.
Digamos que tenemos la siguiente función:
y=2×4+5×3+9x+14
Primera derivada: y’=8×3+15×2+9
Segunda derivada: y»=24×2+30x=0
24×2=-30x
24x=-30
x=-30/24
Chi=-1.25
Luego reemplazamos Xi en la tercera derivada:
y»‘=48x+30
y»‘=48*(-1.25)+30=-30
Debido a que el resultado es distinto de cero, encontramos un punto de inflexión que ocurre cuando x es -1.25 y y es -2.1328, como mostramos a continuación:
y=2×4+5×3+9x+14
y=2(-1.25)4+5(-1.25)3+9(-1.25)+14
y=(2*2.4414)+(5*-1.9531)+(9*-1.25)+14
y=4.8828+(-9.7656)+(-11.25)+14
y=-2.1328
Este gráfico muestra que la función tiene un punto de inflexión:
Ahora veamos otro ejemplo:
y=x4-54×2
y’=4×3-108x
y»=12×2-108=0
x2=108/12
x2=9
Xi=3 y -3
Luego sustituimos las dos raíces encontradas en la tercera derivada:
y»‘=24x
y»‘=24×3=72
y»‘=24x-3=-72
Dado que el resultado es distinto de cero, tenemos dos puntos de inflexión en (3;-405) y (-3;-405). El dato -405 se obtiene sustituyendo 3 y -3 respectivamente en la función y.
y=x4-54×2=34-54*32=81-486=405 (mismo resultado que con -3)
Para completar la información, lo invitamos a visitar el artículo sobre el cambio, donde consideraremos este concepto de manera más general:
detección de inflexión
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