Polinomio de Taylor | Diccionario Economico

Definición de Polinomio de Taylor | Diccionario Economico

Un polinomio de Taylor es una aproximación de una función mediante un polinomio, donde se utilizan las derivadas de la función en un punto específico para determinar los coeficientes del polinomio. Esta aproximación se utiliza para simplificar cálculos y analizar el comportamiento de la función en ese punto.

En otras palabras, el polinomio de Taylor es una suma finita de derivadas locales evaluadas en un punto dado.

Matemáticamente

Definimos:

f(x): función x.

f(x0): función de x en el punto dado x0. Formalmente escrito:

f(n)(x): enésima derivada de f(x).

Aplicaciones

La expansión de Taylor generalmente se aplica a activos y productos financieros donde el precio se expresa como una función no lineal.

Por ejemplo, el precio de un título de deuda a corto plazo es una función no lineal de las tasas de interés. Otro ejemplo serían las opciones, donde tanto los factores de riesgo como los rendimientos son funciones no lineales. El cálculo de la duración de un bono es un polinomio de Taylor de primer grado.

Ejemplo de polinomio de Taylor

Queremos encontrar la aproximación de Taylor de segundo orden de la función f(x) en el punto x0=1.

1. Componer las derivadas correspondientes de la función f(x).

En este caso, se nos pide precisión de segundo orden, por lo que tomaremos las derivadas primera y segunda de la función f (x):

  • Primera derivada:
  • Segunda derivada:

2. Sustituye x0=1 en f(x), f'(x) y f»(x):

3. Habiendo recibido el valor de la derivada en el punto x0=1, lo sustituimos en la aproximación de Taylor:

Arreglemos un poco el polinomio:

control de valor

La aproximación de Taylor será adecuada cuanto más cerca estén los valores de x0. Para probar esto, sustituimos valores cercanos a x0 tanto en la función original como en la aproximación de Taylor anterior:

cuando x0=1

funcion original:

Aproximación de Taylor:

Cuando x0=1.05

funcion original:

Aproximación de Taylor:

Cuando x0=1.10

funcion original:

Aproximación de Taylor:

En el primer caso, cuando x0=1, vemos que tanto la función original como la aproximación de Taylor nos dan el mismo resultado. Esto se debe a la composición del polinomio de Taylor que creamos usando derivadas locales. Estas derivadas se evaluaron en un punto específico, x0=1, para obtener un valor y crear un polinomio. Así, cuanto más lejos de este punto en particular, x0=1, menos adecuada será la aproximación de la función no lineal original. En los casos en que x0=1,05 y x0=1,10, existe una diferencia significativa entre el resultado de la función original y la aproximación de Taylor.

Pero… La diferencia es muy pequeña, ¿no?

Representación polinomial de Taylor

Si desarrollamos los valores extremos (donde la aproximación parte de x0=1):

A primera vista, esto puede parecer insignificante, pero cuando estamos trabajando en un gráfico y haciendo aproximaciones, es muy importante tener en cuenta al menos los primeros cuatro decimales. La base de las aproximaciones es la precisión.

¿Problemas o dudas? Te ayudamos

Si quieres estar al día, suscríbete a nuestra newsletter y síguenos en Instagram. Si quieres recibir soporte para cualquier duda o problema, no dude en ponerse en contacto con nosotros en info@wikieconomia.org

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Scroll al inicio