Definición de Módulo de un vector y el teorema de Pitágoras | Diccionario Economico
El módulo de un vector se refiere a su magnitud o longitud, calculada mediante la fórmula matemática basada en el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En el contexto de la física y la geometría vectorial, se utiliza este teorema para calcular el módulo de un vector en un sistema de coordenadas.
En otras palabras, el módulo de un vector es la longitud entre el principio y el final del vector, es decir, donde comienza y termina la flecha.
Dado cualquier vector 2D:
Vector
La información que nos dan las coordenadas del vector, es decir, vx y vy, es su longitud x y su longitud y, respectivamente.
Entonces, si conocemos las coordenadas, podemos calcular la magnitud del vector.
Módulo vectorial y el teorema de Pitágoras
¿El dibujo anterior te recuerda a una figura geométrica?
Es decir, podemos imaginar que los ejes de coordenadas al lado del vector forman un rectángulo con base vx y altura vy. Podemos dividir este rectángulo en dos triángulos simétricos, lo que significa que ambos tendrán la misma base y altura.
Gráfico vectorial con parte sombreada
El triángulo sombreado en azul tiene base vx y altura vy. Entonces, sabiendo esta información, podemos encontrar su hipotenusa. Hay un teorema muy famoso conocido como el teorema de Pitágoras que se utiliza para estos cálculos.
Demostración
Sabemos que la fórmula de Pitágoras se ve así:
Teorema de pitágoras
donde h es la hipotenusa, c es un cateto, c es el otro cateto.
En nuestro caso, sabemos cuánto cuestan nuestras patas, es decir, la base y la altura. Así que podemos conectar esta información en la ecuación:
Teorema de Pitágoras con coordenadas
Seguimos quitando el cuadrado h aplicando la raíz cuadrada:
Raíz cuadrada
Si decimos que vx = 3 y vy = 6:
Sustituye los datos en la fórmula anterior
Por tanto, si v fuera un vector de coordenadas (3,6), sabríamos que su magnitud es 6,7082. A saber, su módulo, porque la fórmula para el módulo de cualquier vector v es:
módulo vectorial
Vemos que exactamente la información que nos falta en la ecuación coincide con la hipotenusa. En otras palabras, la longitud del vector es lo que queremos calcular y la hipotenusa es la diagonal del triángulo. Por tanto, podemos concluir que utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la magnitud de un vector es un método válido.
Entonces, si necesitamos calcular la magnitud de un vector y no recordamos la fórmula, podemos recordar el teorema de Pitágoras y resolver el problema.
ejercicio resuelto
Calcula la magnitud del vector v con coordenadas (-3,-6) usando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo
El valor del vector v con coordenadas (-3,6), calculado por la fórmula del teorema de Pitágoras, también es igual a 6,7082.
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