Definición de Máximo común divisor y mínimo común múltiplo | Diccionario Economico
El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son dos conceptos matemáticos utilizados para encontrar relaciones entre números. El máximo común divisor es el número más grande que divide exactamente a dos o más números, mientras que el mínimo común múltiplo es el número más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
Aunque ambos se calculan con la misma información, GCF y LCL se interpretan de manera bastante diferente.
Por un lado, MCD es el número más grande por el que se pueden dividir dos o más números. Esto es sin dejar rastros.
Por otro lado, mcm es el número más pequeño que cumple la condición de ser múltiplo de todos los elementos de un conjunto de números.
Cabe especificar que un número es múltiplo de otro si lo contiene exactamente n veces. Es decir, el número b es un múltiplo de a cuando b=a*s, donde s es un número entero.
Para entender mejor la diferencia, podemos usar un ejemplo con los siguientes números: 450, 765 y 135.
Primero, dividamos cada número en divisores. Estos son los números en los que están contenidos en otro exactamente n veces.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Entonces, para calcular el MCD, llevamos los divisores comunes a su mínima potencia:
mcd= (3^2)*5= 45
Del mismo modo, para mcm, tomaríamos todos los divisores, incluso los que no se repiten, elevándolos a la máxima potencia:
mcm= (3^3)*(5^2)*2*17= 22950
Comunicación entre GCD y LCM
Cuando tienes dos números, se ejecuta la siguiente fórmula:
Es decir, para 4368 y 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Entonces MCD sería: (2^2) * 7 = 28.
Por lo tanto, mcm se puede resolver con la fórmula:
micras = 4,368 * 308/28 = 48,048
algunas propiedades
También debes considerar algunas propiedades:
- Si tenemos dos números primos (que solo se pueden dividir entre sí mismos y uno para obtener un número entero), mcm es igual a la suma de sus productos. Del mismo modo, su máximo común divisor es 1. Por ejemplo, si tenemos 11 y 103, su mcm es 1133 y su mcd es 1.
- El máximo común divisor de dos o más números es el divisor del mínimo común múltiplo de dichos números. Esto se debe al hecho de que el cálculo se basa en los mismos factores. Por ejemplo si tenemos 132, 336 y 1314
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Entonces,
MCD=3*2=6
mcm= (2^4)*(3^2)*7*11*73= 809.424
Y comprobamos que LCM es múltiplo de MCD: 809.424/6= 134.904.
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