Matriz antisimétrica | Diccionario Economico

Definición de Matriz antisimétrica | Diccionario Economico

Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada en la cual los elementos en la diagonal principal son cero y los elementos en las posiciones simétricas respecto a la diagonal principal son opuestos.

En otras palabras, una matriz antisimétrica es una matriz que tiene el mismo número de filas (n) y columnas (m) y los elementos a ambos lados de la diagonal principal son complementarios.

Debido a que los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal están desplazados, los elementos de la diagonal principal son ceros.

Artículo recomendado: matriz no simétrica y matriz simétrica.

Características de una matriz antisimétrica

Características de la matriz antisimétrica:

• matriz cuadrada.
• Matriz simétrica + signo menos (-) en elementos debajo de la diagonal principal.
• Los elementos de la diagonal principal son ceros (0).

matriz antisimétrica

Dada una matriz cuadrada AS,

matriz antisimétrica

Podemos ver aparecer los mismos elementos a ambos lados de la diagonal principal, pero con la particularidad de que los elementos debajo de la diagonal principal tienen un signo menos delante. Además, la diagonal principal consta de ceros.

Matriz antisimétrica y espejos

Al igual que una matriz simétrica, una matriz antisimétrica se puede entender con un ejemplo de espejo.

Espejo

Si nos miramos en el espejo y levantamos la mano derecha, veremos que la persona en el espejo levanta la mano izquierda. En otras palabras, el movimiento del espejo es complementario al nuestro, por lo que la suma de ambos movimientos será igual a cero.

Podemos expresar la idea anterior de la siguiente manera y derivar:

(Levanta tu mano bien) – (Levanta tu mano izquierda) = 0

(Levanta tu mano bien) «=» (Levanta tu mano izquierda)

La diagonal principal actúa como un espejo y vemos elementos opuestos a ambos lados de la diagonal principal. La función neutra (=) se asigna a la diagonal principal.

Propiedad

• La matriz transpuesta de la matriz antisimétrica es igual a la matriz antisimétrica multiplicada por (-1).

En otras palabras, es como agregar un signo menos frente a una matriz antisimétrica.

Matemáticamente,

Propiedad de una matriz antisimétrica

Vemos que con ambos procedimientos llegamos al mismo resultado: transposición de matrices o multiplicación por (-1) de una matriz antisimétrica.

Matriz no simétrica vs Matriz antisimétrica vs Matriz simétrica

Un ejemplo de espejo en el caso de una matriz simétrica es suficiente para reflejar el mismo movimiento, es decir, si levantamos la mano, vemos una mano levantada, pero no es necesario indicar cuál. En el caso de una matriz antisimétrica, debemos verificar qué hombro vemos en el espejo y determinar si es una matriz antisimétrica.

Si levantamos la mano y vemos en el espejo que…

• La misma mano está levantada, desde el punto de vista de la persona en el espejo, lo que significa que se trata de una matriz simétrica.

• La mano opuesta está levantada, desde el punto de vista de la persona en el espejo, lo que significa que se trata de una matriz antisimétrica.

• Si las manos no están levantadas o más de una está levantada, desde el punto de vista de la persona en el espejo, entonces se trata de una matriz asimétrica.

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