Definición de Forma cuadrática matricial | Diccionario Economico
Una forma cuadrática matricial es una expresión algebraica que involucra una matriz de variables y coeficientes cuadráticos, y se utiliza en el análisis matemático y económico para representar y estudiar relaciones cuadráticas entre variables.
En otras palabras, la forma cuadrática de una matriz es una combinación lineal de una matriz cuadrada, un vector de orden n y la transpuesta de ese vector.
Artículo Destacado: Operaciones Matrix.
Fórmula de forma cuadrática matricial
Dada una matriz cuadrada GRAMO de orden n y un vector h de dimensión n, podemos escribir una expresión llamada forma cuadrática de la forma:
Fórmula de forma cuadrática matricial.
El resultado de una forma cuadrática siempre será un escalar, es decir, un solo número, no una matriz.
Aplicaciones
La forma cuadrática matricial se utiliza para encontrar el grado de positividad y negatividad de ciertas matrices. Dependiendo de los valores del vector h, el valor de la forma cuadrática será cero (0), positivo o negativo.
Una vez que tenemos la forma cuadrática, podemos decir que hemos «definido» la matriz. Entonces, podemos hablar de una determinada matriz. Esta matriz puede ser definida positiva, semidefinida positiva, semidefinida negativa y semidefinida negativa.
Ejemplo práctico
Encontrar la forma cuadrática de una matriz cuadrada GRAMO el vector h está dado:
matriz cuadrada GRAMO de orden 3 y un vector h de dimensión 1×3.
Procedimiento
Primero, transponemos el vector h.
Transposición del vector h.
Luego aplicamos la fórmula de la forma cuadrática.
Cálculo de la forma cuadrática de una matriz GRAMO.
Como dijimos anteriormente, el resultado de una forma cuadrática siempre será un número. En este caso, es un número estrictamente positivo.
Pero… ¿Cómo puede ser que el resultado sea un número concreto, y no una matriz, si multiplicamos matrices?
La reducción de la dimensionalidad de la matriz a partir de la multiplicación ocurre porque estamos multiplicando matrices que tienen el mismo número de columnas y filas.
Demostración:
Del producto de la matriz GRAMO y el vector transpuesto h sigue siendo un vector de 3×1. De manera similar, el producto del vector resultado y el vector h es una matriz de 1 × 1. Una matriz de 1 × 1 es un escalar.
Entonces, si calculamos la forma cuadrática de una matriz y obtenemos una matriz de dimensiones mayores a 1 × 1 (obtenemos un resultado diferente a un número específico), significa que cometimos un error en algún paso y que el resultado es incorrecto. .
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