Distribución de Poisson | Diccionario Economico

Definición de Distribución de Poisson | Diccionario Economico

La distribución de Poisson es un modelo matemático que describe la probabilidad de ocurrencia de un evento raro en un periodo de tiempo específico, cuando la media de ocurrencia es conocida y constante.

En otras palabras, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, y solo conociendo los eventos y su frecuencia promedio de ocurrencia, podemos saber su probabilidad.

Expresión de distribución de Poisson

Para una variable aleatoria discreta X, decimos que su frecuencia puede aproximarse satisfactoriamente mediante una distribución de Poisson tal que:

Expresión de distribución de Poisson

A diferencia de la distribución normal, la distribución de Poisson depende de un solo parámetro, mu (marcado en amarillo).

Mu informa el número esperado de eventos que ocurrirán en un intervalo de tiempo fijo. Cuando se habla de algo «esperado», debemos redirigirlo a la media. Por lo tanto, mu es el valor promedio de la frecuencia de eventos.

Tanto la media como la varianza de esta distribución son estrictamente positivas.

Actuación

Dada una distribución de Poisson con media 2, la distribución de probabilidad de densidad es la siguiente:

Función de densidad de probabilidad de Poisson

La función solo se define para valores enteros x.

No todas las distribuciones de probabilidad de densidad de Poisson se verán iguales incluso si dejamos la muestra sin cambios. Si cambiamos la media, es decir, el parámetro del que depende la función, la función también cambiará.

función de densidad de probabilidad (pdf)

Función de densidad de probabilidad de Poisson

Esta función se entiende como la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un cierto valor x. Este es el exponente de la media negativa multiplicado por la media elevada a la observación, y todo dividido por el factorial de la observación.

Como se dijo, para encontrar la probabilidad de cada observación, tendremos que sustituir todas las observaciones en la función. En otras palabras, x es un vector de dimensión n que contiene todas las observaciones de la variable aleatoria X. El valor medio también será un vector, pero unidimensional, tal que:

Implementaciones de parámetros y variables aleatorias

Una vez que hemos calculado las probabilidades, junto con las observaciones, podemos trazar la distribución de densidad de probabilidad.

Historia

El nombre de esta distribución proviene de su creador Siméon-Denis Poisson (1781-1840), un matemático y filósofo francés que quería modelar la frecuencia de eventos en un intervalo de tiempo fijo. También participó en la mejora de la ley de los grandes números.

Solicitud

La distribución de Poisson se utiliza en el campo del riesgo operativo para modelar situaciones en las que se producen pérdidas operativas. En riesgo de mercado se utiliza el proceso de Poisson para determinar el tiempo de espera entre transacciones financieras en bases de datos de alta frecuencia. Además, el riesgo de crédito se tiene en cuenta al modelar el número de quiebras.

Ejemplo

Suponemos que tenemos temporada de invierno y queremos esquiar hasta diciembre. Hay un 5% de posibilidades de que las estaciones de esquí abran antes de diciembre. De 100 estaciones de esquí, queremos saber la probabilidad de que la estación de esquí más cercana abra antes de diciembre. La calificación de esta estación de esquí es de 6 puntos.

La entrada necesaria para calcular la función de probabilidad de densidad de Poisson es el conjunto de datos y mu:

  • Conjunto de datos = 100 estaciones de esquí.
  • Mu = 5% * 100 = 5 es el número esperado de estaciones de esquí dado el conjunto de datos.

Función de densidad de probabilidad de Poisson

Así que la estación más cercana tiene un 14,62% ​​de posibilidades de abrir antes de diciembre.

probabilidad de frecuencia

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