Descomposición de Cholesky – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico

Definición de Descomposición de Cholesky – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico

La descomposición de Cholesky es un procedimiento matemático que descompone una matriz simétrica definida positiva en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta conjugada. Esta descomposición se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para realizar cálculos en álgebra lineal y estadística.

En otras palabras, la descomposición de Cholesky consiste en igualar una matriz que contiene el mismo número de filas y columnas (una matriz cuadrada) con una matriz con ceros sobre la diagonal principal por su matriz transpuesta con ceros debajo de la diagonal principal.

La descomposición LU, a diferencia de la descomposición de Cholesky, se puede aplicar a varios tipos de matrices cuadradas.

Características de la descomposición de Cholesky

La descomposición de Cholesky consiste en:

  • Matriz cuadrada triangular superior: Una matriz cuadrada que tiene solo ceros debajo de la diagonal principal.
  • Matriz cuadrada triangular inferior: Una matriz que tiene solo ceros sobre la diagonal principal.

Matemáticamente, si hay una matriz E simétrica definida positiva, entonces hay una matriz K simétrica triangular inferior de la misma dimensión que E, lo que da como resultado:

La matriz anterior se especifica como la matriz de Cholesky de E. Esta matriz actúa como la raíz cuadrada de la matriz E. Sabemos que el dominio de la raíz cuadrada es:

{X ∈ ℜ : X ≥ 0}

Que se define para todos los números reales no negativos. Al igual que la raíz cuadrada, la matriz de Cholesky solo existirá si la matriz es definida semipositiva. Una matriz es definida semipositiva cuando los términos menores tienen determinante positivo o cero.

La descomposición de Cholesky para E es una matriz diagonal tal que:

Vemos que las matrices son cuadradas y contienen las características indicadas; un triángulo de ceros por encima de la diagonal principal en la primera matriz y un triángulo de ceros por debajo de la diagonal principal en la matriz transformada.

Aplicaciones de la descomposición de Cholesky

En finanzas, se utiliza para transformar realizaciones de variables normales independientes en variables normales correlacionadas según la matriz de correlación E.

Si N es un vector de normales independientes (0,1), entonces C es un vector de normales (0,1) correlacionadas según E.

Ejemplo de descomposición de Cholesky

Este es el ejemplo más simple de descomposición de Cholesky que podemos encontrar ya que las matrices deben ser cuadradas, en este caso una matriz (2×2). Dos filas, dos columnas. Además, corresponde a las características de tener ceros arriba y abajo de la diagonal principal. Esta matriz es definida semipositiva porque los contribuyentes menores tienen un determinante positivo. Definimos:

Solución para: c2 = 4; bs=-2; a2+b2 = 5; tenemos cuatro posibles matrices de Cholesky:

Finalmente, calculamos para encontrar (a,b,c). Una vez que las encontremos, tendremos matrices de Cholesky. El cálculo es el siguiente:

¿Problemas o dudas? Te ayudamos

Si quieres estar al día, suscríbete a nuestra newsletter y síguenos en Instagram. Si quieres recibir soporte para cualquier duda o problema, no dude en ponerse en contacto con nosotros en info@wikieconomia.org

Comentarios

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *