Definicion de Teorema del límite central (CLT): definición y características clave
El Teorema del Límite Central es un resultado fundamental en estadísticas que establece que, bajo ciertas condiciones, la distribución de la media de una muestra tiende a aproximarse a una distribución normal, sin importar la forma de la distribución original. Esto es válido incluso cuando la muestra es de un tamaño pequeño. La CLT es ampliamente aplicada en estadística inferencial y proporciona una base para la estimación y prueba de hipótesis en análisis de datos.
¿Qué es el teorema del límite central (CLT)?
En la teoría de la probabilidad, el teorema del límite central (CLT) establece que la distribución de una variable muestral se aproxima a una distribución normal (es decir, la forma real de la distribución de la población).
En otras palabras, CLT es la premisa estadística de que, dado un tamaño de muestra suficientemente grande de una población con un nivel finito de varianza, la media de todas las variables seleccionadas de la misma población será aproximadamente igual a la media de toda la población. Además, estas muestras se aproximan a una distribución normal, con su varianza aproximadamente igual a la de la población a medida que aumenta el tamaño de la muestra, de acuerdo con la ley de los grandes números.
Aunque el concepto fue desarrollado por primera vez por Abraham de Moivre en 1733, no se formalizó hasta 1920, cuando el famoso matemático húngaro George Pólya lo llamó teorema del límite central.
Resultados clave
- El teorema del límite central (CLT) establece que la distribución de las medias muestrales se acerca a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución de la población.
- A menudo se considera suficiente un tamaño de muestra igual o superior a 30 para respaldar el CLT.
- Un aspecto clave de CLT es que el promedio de las medias y desviaciones estándar de la muestra será igual a la media y la desviación estándar de la población.
- Un tamaño de muestra suficientemente grande puede predecir con mayor precisión las características de la población.
- CLT es útil en finanzas cuando se analiza una gran colección de valores para evaluar la asignación de cartera y las características de rendimiento, riesgo y correlación.
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Comprender el teorema del límite central (CLT)
Según el teorema del límite central, la media de una muestra de datos estará más cerca de la media de toda la población considerada a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución real de los datos. En otras palabras, los datos son precisos independientemente de si la distribución es normal o aberrante.
Normalmente, los tamaños de muestra de alrededor de 30 a 50 se consideran suficientes para respaldar CLT, lo que significa que la distribución de las medias muestrales es bastante normal. Por lo tanto, cuantas más muestras se toman, más los resultados en el gráfico toman la forma de una distribución normal. Sin embargo, tenga en cuenta que el teorema del límite central seguirá siendo aproximado para tamaños de muestra mucho más pequeños, como n=8 o n=5, en muchos casos.
El teorema del límite central se utiliza a menudo junto con la ley de los grandes números, que establece que el promedio de las medias muestrales y las desviaciones estándar se acercará al valor de la media poblacional y la desviación estándar a medida que aumenta el tamaño de la muestra, lo cual es extremadamente útil para predecir con precisión. las características de las poblaciones.
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Componentes clave del teorema del límite central
El teorema del límite central consta de varias características clave. Estas características están relacionadas en gran medida con las muestras, los tamaños de las muestras y los conjuntos de datos.
- El muestreo es secuencial. Esto significa que algunas unidades de muestreo se comparten con unidades de muestreo previamente seleccionadas.
- La muestra es aleatoria. Todas las muestras deben seleccionarse al azar para que tengan la misma probabilidad estadística de ser seleccionadas.
- Las muestras deben ser independientes. Las muestras o los resultados de una muestra no deben tener ninguna influencia en muestras futuras o en los resultados de otras muestras.
- Las muestras deben ser limitadas. A menudo se dice que una muestra no debe ser más del 10% de la población si la muestra se toma sin reemplazo. En general, un tamaño de población mayor requiere el uso de un tamaño de muestra mayor.
- El tamaño de la muestra está aumentando. El teorema del límite central es relevante a medida que se toman más muestras.
Teorema del límite central en finanzas
CLT es útil cuando se estudia el desempeño de acciones individuales o índices más amplios porque el análisis es sencillo debido a la relativa facilidad para obtener los datos financieros necesarios. En consecuencia, inversores de todo tipo confían en CLT para analizar el rendimiento de las acciones, crear carteras y gestionar el riesgo.
Digamos, por ejemplo, que un inversor quiere analizar el rendimiento total de un índice bursátil de 1.000 acciones. En este escenario, el inversor puede simplemente examinar una muestra aleatoria de acciones para obtener el rendimiento estimado del índice general. Para estar seguro, debe elegir al menos entre 30 y 50 acciones seleccionadas al azar en diferentes sectores para garantizar que el teorema del límite central sea cierto. Además, las acciones previamente seleccionadas deben cambiarse por nombres diferentes para eliminar el sesgo.
¿Para qué sirve el teorema del límite central?
El teorema del límite central es útil cuando se analizan grandes conjuntos de datos porque sugiere que la distribución muestral de la media tendrá una distribución normal en la mayoría de los casos. Esto permite un análisis e inferencia estadísticos más fáciles. Por ejemplo, los inversores pueden utilizar el teorema del límite central para agregar datos de rendimiento de valores individuales y crear una distribución de medias de muestra que represente la distribución más amplia de los rendimientos acumulados de un valor durante un período de tiempo.
¿Por qué el teorema del límite central minimiza el tamaño de muestra de 30?
Un tamaño de muestra de 30 es bastante común en estadística. Un tamaño de muestra de 30 a menudo aumentará el intervalo de confianza de su conjunto de datos de población lo suficiente como para justificar hacer afirmaciones en contra de sus hallazgos. Cuanto mayor sea el tamaño de su muestra, más probable será que la muestra sea representativa de su población.
¿Cuál es la fórmula del teorema del límite central?
El teorema del límite central no tiene su propia fórmula, pero se basa en la media muestral y la desviación estándar. Debido a que las medias muestrales se obtienen de la población, la desviación estándar se utiliza para distribuir los datos a lo largo de una curva de distribución de probabilidad.
Preguntas Frecuentes
1. ¿Qué es el teorema del límite central (CLT)?
El teorema del límite central establece que la distribución de una variable muestral se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución de la población.
2. ¿Para qué sirve el teorema del límite central?
El teorema del límite central es útil cuando se analizan grandes conjuntos de datos, ya que sugiere que la distribución muestral de la media tendrá una distribución normal en la mayoría de los casos, lo que permite un análisis e inferencia estadísticos más fáciles.
3. ¿Por qué el teorema del límite central minimiza el tamaño de muestra de 30?
Un tamaño de muestra de 30 se considera suficiente para respaldar el teorema del límite central, ya que a partir de dicho tamaño de muestra, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal. Cuanto mayor sea el tamaño de muestra, más representativo será de la población y más precisas serán las predicciones de las características de la población.
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