Definición de Paradoja de San Petersburgo | Diccionario Economico
La paradoja de San Petersburgo es un problema matemático y económico que plantea una apuesta en la que se lanza una moneda hasta que esta muestra cara por primera vez. La cantidad de dinero ganado en esa apuesta se va duplicando en cada lanzamiento. A pesar de que la expectativa matemática del premio es infinita, la paradoja radica en que la mayoría de las personas no estarían dispuestas a pagar una cantidad alta por participar en este juego debido al riesgo asociado a la incertidumbre del número de lanzamientos requeridos para obtener cara.
La paradoja de San Petersburgo, para que la entendamos correctamente, fue una paradoja descrita por Nicholas Bernoulli después de observar el juego, por lo que esta paradoja existe.
Teoría de juego
En este sentido, la paradoja nos dice que la teoría de las decisiones formuladas nos muestra que toda persona es una decisión racional en un juego de apuestas, independientemente del monto de cada apuesta. Sin embargo, si analizamos adecuadamente esta situación y estudiamos con detenimiento la teoría, nos daremos cuenta de que ningún ser racional decidiría apostar una suma de dinero cercana al infinito, aunque la teoría indique que es racional. Por ello, surge una paradoja.
Inicialmente, la paradoja es observada por Nicholas Bernoulli, tal como aparece en una carta enviada por él a Pierre de Montmort, un aristócrata y matemático francés, el 9 de septiembre de 1713.
Sin embargo, dado que la investigación de Nikolaus no arrojó resultados, le presentó la paradoja en 1715 a su primo Daniil Bernoulli, matemático de origen holandés y rector de la Universidad de Basilea, quien, tras reunirse en San Petersburgo con un destacado grupo de científicos, y tras años de investigación, publicó en 1738. Nuevo sistema de medición en su obra «La presentación de una nueva teoría en la medición del riesgo».
El modelo propuesto por Daniel, a diferencia del modelo propuesto por Nikolai, sienta las bases de lo que posteriormente mejorará y complementará la teoría de la utilidad esperada.
Fórmula de la paradoja de Petersburgo
El texto que Nicholas Bernoulli propone a su primo y Pierre de Montmort es este:
Imagina un juego de apuestas en el que el jugador obviamente tiene que pagar una cierta cantidad para participar.
Supongamos que un jugador apuesta a cruz y lanza sucesivamente una moneda hasta que sale cruz. Tan pronto como sale cruz, el juego se detiene y el jugador recibe 2^n dólares.
Entonces, si sale cruz, el jugador gana 2^1 primero, que son $2. Pero si vuelve a salir cruz, obtiene 2^2, que son $4, y así sucesivamente. Si vuelve a salir, serán $8, lo que equivale a 2^3; y si sale por cuarta vez, el premio será de $16, ya que la representación es 2^4.
Entonces, la pregunta de Nikolaus era: dada la consistencia y el beneficio antes mencionados, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar un jugador por este juego sin perder la racionalidad?
Un ejemplo de la paradoja de San Petersburgo
Teniendo en cuenta la formulación propuesta por Nicolás y la duda que planteó al matemático francés ya su primo, veamos el por qué de esta paradoja con un ejemplo para entender a qué nos referimos.
En primer lugar, debemos saber que antes de que comience el juego, tenemos una infinidad de posibles resultados. Bueno, incluso si la probabilidad es 1/2, la cruz puede no aparecer hasta la octava tirada.
Por lo tanto, la probabilidad de que la cruz indicada caiga cuando se lanza k es:
paquete = 1/2k
Del mismo modo, la ganancia es de 2 mil rublos.
Continuando con el desarrollo, el hecho de que cruce por primera vez en el primer lanzamiento genera una ganancia de 21 ($2) y una probabilidad de 1/2. Cruz en el segundo intento tiene un pago de 22 ($4) y una probabilidad de 1/22; mientras que, si sale cruz en el tercer intento, el jugador obtiene una ganancia de 23 ($8) y una probabilidad de 1/23. Como podemos ver, se ejecuta un enlace que se expande a medida que agregamos.
Antes de continuar, cabe señalar que en teoría de decisiones llamamos a la suma de los premios asociados a cada uno de los posibles resultados del juego, y todos ellos se ponderan según la probabilidad de cada uno de estos resultados.
Si tenemos en cuenta el planteamiento que muestra esta paradoja, veremos que al jugar el juego, la probabilidad de ganar $2 es 1/2, pero, además, la probabilidad de ganar 4 es 1/4, y la probabilidad de ganar ganar $8 es 1/8. Esto es hasta que llegan a situaciones como ganar $64, con una probabilidad de 1/64 para este caso.
Así, con estos resultados, si calculamos el valor esperado, o lo que conocemos como la ganancia esperada del juego, debemos sumar la ganancia de todos los resultados posibles, ponderados por la probabilidad de que ocurran, para que el resultado nos muestre infinito. significado. .
Si seguimos la teoría de la elección, nos dice que debemos apostar cualquier cantidad simplemente porque cada elección es favorable para nosotros. Ahora bien, el hecho de que esto sea una paradoja es que, racionalmente, un jugador no apostaría indefinidamente, incluso si la teoría lo empuja a hacerlo.
Una maravillosa paradoja
Muchos matemáticos han intentado descifrar la paradoja propuesta por Bernoulli, pero muchos no han podido resolverla.
Así, hay muchos ejemplos que nos muestran cómo los matemáticos han tratado de resolver esta paradoja refiriéndose tanto a la estructura del juego como a las decisiones de las propias personas. Sin embargo, hasta la fecha, todavía no hemos encontrado una solución aceptable.
Y radica en que para que nos hagamos una idea de la complejidad de esta paradoja, teniendo en cuenta la teoría de la elección en este ejemplo, tomamos como posible premio después de contar una cantidad infinita de monedas. , lo cual, aún considerando que fuera posible, esto sería incompatible con el propio sistema monetario, ya que es el dinero, contrariamente a lo que dice la paradoja, el que es limitado.
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