Desiguladad de Chebyshev – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico

Definición de Desiguladad de Chebyshev – Definición, qué es y concepto | Diccionario Economico

La desigualdad de Chebyshev es un concepto estadístico que establece una relación entre la varianza de una variable aleatoria y el número de desviaciones estándar en un conjunto de datos. Esta desigualdad permite determinar qué porcentaje de los datos se encuentra dentro de un cierto intervalo alrededor de la media. En resumen, la desigualdad de Chebyshev proporciona una medida de dispersión en un conjunto de datos.

Su expresión formal es la siguiente:

X = Valor estimado

µ = valor esperado del valor calculado

Ϭ = desviación estándar del valor esperado

k = número de desviaciones estándar

Partiendo de esta expresión general y desarrollando la parte que queda dentro del valor absoluto, obtendríamos lo siguiente:

Si prestas atención a la expresión anterior, puedes ver que la parte de la izquierda ya no está, esta intervalo de confianza. Esto nos da un límite superior e inferior en el valor estimado. Por lo tanto, la desigualdad de Chebyshev nos dice la probabilidad mínima de que un parámetro de población esté dentro de un número dado de desviaciones estándar por encima o por debajo de su media. O dicho de otro modo, nos da la probabilidad de que el parámetro poblacional se encuentre dentro de ese intervalo de confianza.

La desigualdad de Chebyshev da estimaciones aproximadas del valor estimado. A pesar de cierto grado de inexactitud, este es un teorema muy útil porque se puede aplicar a una amplia gama de variables aleatorias, independientemente de su distribución. La única restricción en el uso de esta desigualdad es que k debe ser mayor que 1 (k>1).

desigualdad matemática

Un ejemplo de aplicación de la desigualdad de Chebyshev

Supongamos que somos gestores de fondos de inversión. La cartera que gestionamos tiene una rentabilidad media del 8,14% y una desviación típica del 5,12%. Para saber, por ejemplo, qué porcentaje de nuestra rentabilidad es al menos 3 desviaciones estándar de nuestra rentabilidad media, simplemente aplicaríamos la fórmula de la expresión 2 anterior.

k = 1,96

Sustituyendo el valor de k: 1-(1/(1.96^2)) = 0.739 = 73.9%

Esto significa que el 73,9% de los resultados se encuentran dentro de un intervalo de confianza de 1,96 desviaciones estándar de la media.

Realicemos el ejemplo anterior para diferentes valores de k.

k = 2,46
k = 3

Sustituyendo el valor de k: 1-(1/(2.46^2)) = 0.835 = 83.5%

Sustituyendo el valor de k: 1-(1/(3^2)) = 0.889 = 88.9%

El 83,5% de los datos están dentro de las 2,46 desviaciones estándar de la media y el 88,9% están dentro de las 3 desviaciones estándar de la media.

Utilizando la desigualdad de Chebyshev, es fácil concluir que cuanto mayor sea el valor de K (cuanto mayor sea la desviación del valor estimado de su valor medio), mayor será la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre dentro de un intervalo limitado.

Desigualdad del teorema del límite central de Kurtoz

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