Definición de Producto escalar de vectores con definición geométrica | Diccionario Economico
El producto escalar de vectores con definición geométrica es una operación matemática que se realiza entre dos vectores para calcular el valor numérico resultante, que representa la proyección de un vector sobre otro vector. Esta proyección determina la magnitud de la componente en común de ambos vectores y se utiliza para medir ángulos, distancias y trabajos en física y geometría.
En otras palabras, el producto escalar de dos vectores es el producto de los módulos de ambos vectores y el coseno del ángulo.
fórmula del producto escalar
Para dos vectores, el producto punto se calcula de la siguiente manera:
Producto escalar en definición geométrica
Se llama producto escalar porque el resultado del módulo siempre será un escalar, como el coseno de un ángulo. El resultado de esta multiplicación será un número que expresa magnitud y no tiene dirección. En otras palabras, el resultado del producto escalar será un número, no un vector. Por lo tanto, expresaremos el número resultante como cualquier número y no como un vector.
Para averiguar la magnitud de cada vector, se calcula el módulo. Así, si multiplicamos la magnitud de uno de los vectores (v) por la magnitud del otro vector (a) por el coseno del ángulo que ambos forman, averiguamos cuánto miden en total los dos vectores.
Esquema
La magnitud del vector (v) multiplicada por el coseno del ángulo también se conoce como la proyección del vector v sobre el vector a.
Proyección Vea otra forma de calcular el producto escalar de dos vectores.
Procedimiento
- Calcular módulos de vectores.
Para cualquier vector 3D
Vector
Fórmula para calcular el módulo de un vector:
Módulo
Cada subíndice de vector indica dimensiones, en este caso el vector (a) es un vector 3D porque tiene tres coordenadas.
2. Calcula el coseno del ángulo.
coseno de un ángulo
Un ejemplo del producto escalar de dos vectores
Calcula el producto escalar de los siguientes vectores 3D, sabiendo que el ángulo que forman es de 45 grados.
Ejemplo
Para calcular el producto punto, primero necesitamos calcular la magnitud de los vectores:
Cálculo de módulos
Una vez que hemos calculado el módulo de los dos vectores y conocemos el ángulo, solo nos queda multiplicarlos:
Cálculo del producto escalar
Por lo tanto, el producto escalar de los vectores anteriores es 1,7320 unidades.
Cronograma
Los siguientes vectores se verán así en un gráfico 3D:
Vectores en el espacio 3D
Para el vector (c), vemos que la componente z es cero, por lo tanto, será paralela al eje x. En cambio, la componente z del vector (b) es positiva, por lo que podemos verla inclinada hacia arriba. Ambos vectores están en el cuadrante positivo de la componente ya que es positiva e igual.
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