Definición de Máximo común divisor (MCD) | Diccionario Economico
El máximo común divisor (MCD) es el mayor número que divide exactamente a dos o más números enteros de manera simultánea. Es utilizado en matemáticas para simplificar fracciones y resolver problemas de divisibilidad.
Es decir, el máximo común divisor o MCD es el número más grande por el que se puede dividir un conjunto de números, dando como resultado un número entero.
Un divisor se puede definir formalmente como un número que está contenido en otro número exactamente n veces.
Cabe señalar que los números por los que se calcula el GCD deben ser distintos de cero.
Para explicar esto mejor, veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos 35 y 15. Entonces observamos cuáles son los divisores de cada uno de ellos:
- Divisores 35 → 35,7,5,1
- Divisores 15 → 15,5,3,1
Por lo tanto, el máximo común divisor de 35 y 15 es 5.
Vale la pena señalar que si los divisores comunes de dos números son solo 1 y -1, se dice que son «primos entre sí».
Métodos para calcular el máximo común divisor
Podemos distinguir los siguientes tres métodos para calcular el máximo común divisor:
- Descomposición en factores primos: Los números se descomponen en números primos. Luego, para calcular el MCD, se toman números ordinarios elevados a la menor potencia. Por ejemplo, digamos que tenemos 216 y 156:
216/2=108
108/2=54
2/54=27
3/27=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
3/39=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Por tanto, el máximo común divisor entre ambos números será: (2^2) * 3 = 12.
Ahora digamos que tenemos tres elementos: 315, 441 y 819.
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Así, tras desagregarlos y tomar cada divisor con su cardinalidad mínima, el resultado será:
mcd= (3^2)*7= 63
- Algoritmo de Euclides: Al dividir a por b, obtenemos el cociente de c y r. Entonces el máximo común divisor de los números a y b coincide con el divisor de b y r. A esto se le da lo siguiente: a=bc+r. Para comprender mejor esto, apliquemos este método al ejemplo anterior con 216 y 156.
216/156 = 1 con un resto de 60
ahora dividimos 156/60=2 con resto 36
Divide de nuevo 60/36=1 con un resto de 24
Una vez más dividimos 36/24=1 con un resto de 12
Y finalmente dividimos 24/12=2 con resto 0
Por lo tanto, el máximo común divisor es 12. Como podemos ver, debemos dividir hasta que el resto sea 0 y el último divisor sea mcd.
- Basado en el mínimo común múltiplo: Los números se multiplican y el resultado se divide por el mínimo común múltiplo (mcm).
Debemos recordar que el mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño que cumple la condición de ser múltiplo de todos los elementos de un conjunto de números.
Es decir, volviendo al mismo ejemplo, podemos descomponer de la siguiente manera:
216=(3^3)*(2^3) y 156=13*3*(2^2) 204=3*(2^2)*17 168=3*(2^3)*7
Mínimo común múltiplo: (3^3)*(2^3)*13*17*7= 334,152.
Entonces: MCD=216*156/2.808=12
Vale la pena señalar que este método solo funciona para dos números.
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