Definición de Función exponencial | Diccionario Economico
La función exponencial es una función matemática que se define como aquella en la que la variable dependiente está en forma de exponente, es decir, se eleva a una potencia constante.
En otras palabras, una función exponencial es un cálculo de interés en el que los períodos de tiempo entre los cálculos de interés son infinitesimales (muy pequeños).
Fórmula de función exponencial:
La capitalización continua de interés se puede expresar como
Similitud razonable entre la composición continua y una función exponencial, ¿verdad?
Definamos las variables de capitalización continua:
- Ct+1: patrimonio en el momento t+1 (posterior).
- Ct: capital en el momento t (actual).
- es: la tasa de interés en el tiempo t.
- p: frecuencia o periodicidad de la capitalización.
- t: tiempo.
Aplicaciones
En finanzas, a menudo vemos la función exponencial en la fórmula para la capitalización continua de ganancias futuras y en algunas regresiones econométricas.
En economía, no es tan popular porque la mayoría de los modelos microeconómicos y macroeconómicos asumen rendimientos marginales decrecientes en sus factores de producción. Por lo tanto, asumen que las probabilidades siguen un retorno logarítmico y, por lo tanto, regresan de manera contraria a una función exponencial.
Ejemplo de función exponencial
Supongamos que somos un inversionista estadounidense que quiere construir una pista de esquí en el Pico Bolívar en Venezuela. La inversión inicial es de US$100 millones a una tasa de interés anual del 100%. Este inversor tiene suficiente poder de negociación para determinar la frecuencia de interés de su inversión.
¿Qué alternativa preferiría el inversionista estadounidense?
Para responder a la pregunta, necesitaremos calcular el capital en el momento t+1 (Ct+1) que recibirá el inversor.
Información disponible:
kt: 100 millones de dolares
esto: 100%
t: 1 (anual)
CT+1: ?
| Alternativa | A | B. | CON. | D. | Y | F |
| Periodicidad | 1 | 2 | cincuenta | 100,000 | 10,000,000 | 1,000,000,000 |
Sustituir la información que tenemos en dos fórmulas (función exp y capitalización continua)
Procesamos datos ignorando MM.
Dividimos (Ct+1) por 100 en una función exponencial para eliminar el efecto capital. Por lo tanto, movemos la coma dos posiciones hacia adelante. Por lo tanto, este efecto es visible en las siguientes columnas de resultados.
Resultados:
Fórmula | capitalización continua | Funcion exponencial |
Periodicidad (p) o (n) | CT+1 | CT+1/100 |
1 | 200 | 2 |
2 | 225 | 2.25 |
cincuenta | 269.1588029 | 2.691588029 |
100,000 | 271.8268237 | 2.718268237 |
10,000,000 | 271.8281694 | 2.718281694 |
1,000,000,000 | 271.8282031 | 2.718282031 |
Como nop tiende a infinito, en este caso a partir de 10.000.000, vemos que los valores convergen a un número concreto. Para interés continuo es 271.8281 y para exponencial es 2.718281. Las dos filas convergen en el punto e.
Respuesta del ejercicio resuelto
Entonces, ¿qué alternativa elegirá eventualmente el inversionista estadounidense si, de una serie de periodicidades, el capital en el momento t + 1 (Ct + 1) se congela en un cierto valor?
- Si este inversionista considera el capital como una variable discreta, entonces elegirá la alternativa D. Porque de la alternativa C, el capital en el tiempo t+1 (Ct+1) converge a $271 millones.
- Si este inversionista considera el capital como una variable continua, entonces elegirá una alternativa con mayor frecuencia. En este caso, la alternativa es F. Aunque converja a un valor, el inversor tiene en cuenta todos los decimales.
Esta convergencia implica que el capital en el tiempo t+1 (Ct+1), calculado mediante la fórmula de capitalización continua o exponencial, sigue rendimientos marginales decrecientes. En otras palabras, (Ct+1) se puede expresar como una función logarítmica.
esquemáticamente:
- Periodicidad = función exponencial.
- Capital en el tiempo t+1 (Ct+1) = función logarítmica.
Representación grafica
El gráfico muestra cómo la función exponencial, que es infinitamente continua, crece mucho más rápido que la composición continua limitada. Cuando hablamos de capitalización continua, nos referimos a una especie de capitalización compleja, pero con mayor frecuencia, ya que en la práctica es imposible capitalizar intereses infinitamente pequeños. Es decir, no podemos capitalizar cada segundo.
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