Definición de Cota de Cramér-Rao | Diccionario Economico
La cota de Cramér-Rao es una medida que establece un límite inferior para la varianza de cualquier estimador no sesgado de un parámetro poblacional, en función de la información que se tiene sobre los datos.
En otras palabras, estamos buscando la varianza más cercana a este límite inferior para encontrar la mejor estimación basada en las propiedades de imparcialidad y eficiencia.
Se recomienda leer propiedades de los estimadores
Estas propiedades se utilizan cuando necesitamos seleccionar un estimador para realizar un análisis econométrico. Si queremos que nuestros resultados sean concluyentes, como mínimo, necesitaremos que el estimador sea insesgado y tenga la menor varianza posible entre todos los estimadores insesgados (eficiencia).
Aunque tengamos en cuenta todos los estimadores insesgados, al buscar un estimador de mínima varianza puede ocurrir que se encuentre otro estimador insesgado con menor varianza.
Para garantizar que no se pierda ninguna estimación de varianza mínima imparcial, establecemos un límite mínimo o inferior que la varianza de la estimación de parámetro imparcial no puede exceder.
Solo estamos buscando estimadores no sesgados porque los estimadores sesgados pueden tener una varianza más pequeña que el CCR.
Fraseología
Definimos:
f(X;Θ): función de densidad de probabilidad.
Y[ · ]: esperanza matemática.
yo (Θ): Información de Fisher sobre el parámetro.
Representa la «cantidad de información» sobre el valor del parámetro contenido en la observación de la variable aleatoria X.
Fórmula:
¡No entre en pánico! ¿Qué vemos a primera vista de esta fórmula?
- Vemos que se trata de una desigualdad no estricta (≥) en lugar de una igualdad (=). Esto se debe a que en algunos casos no encontramos (no existe) un estimador insesgado que llegue a la frontera CCR. Por lo tanto, decimos que estamos buscando la varianza del estimador insesgado que esté lo más cerca posible de este límite inferior. Además, el CCR nos dice cuál será la varianza mínima del estimador; no se puede encontrar por debajo de esta cifra.
- La parte de la derecha (var(Θ’) es la varianza de nuestro parámetro estimado.
- Parte de la izquierda [1/J(Θ)] es un mínimo de varianza insuperable.
- Si buscamos el mínimo (absoluto) de la varianza de la estimación Θ, es lógico que aparezcan las derivadas parciales (derivadas con respecto a Θ).
- En economía, las derivadas parciales se utilizan en condiciones de primer y segundo orden para optimizar funciones de utilidad: encontrar máximos y mínimos relativos y absolutos, respectivamente.
- CCR usa la primera derivada parcial del parámetro Θ con respecto a PDF f(X; Θ)
- Para facilitar el cálculo, en algunos casos, la segunda derivada y la información alternativa de Fisher se utilizan para obtener el CCR.
Las estimaciones que, al ser insesgadas, tengan una varianza igual al CCR se considerarán las más eficientes. De manera similar, aquellos estimadores insesgados cuya varianza sea más cercana se considerarán relativamente más eficientes que otros estimadores (abajo).
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